驗(yàn)證性因子分析（什么數(shù)據(jù)適合因子分析）創(chuàng)2021-06-09 11:07·Codewar

快一個(gè)月沒(méi)更新文章啦，今天收到好幾個(gè)粉絲的催更私信，好的吧，實(shí)在對(duì)不住大家期待的眼神，看樣子不能再拖啦，想想寫(xiě)啥好呢，大家咨詢比較多的，混合模型算一個(gè)，今天就繼續(xù)給大家寫(xiě)寫(xiě)混合模型如何做吧。

(資料圖)

混合模型一般都可以用lme4這個(gè)包解決，lme4既可以做線性混合模型，也可以做廣義線性混合模型還可以做非線性混合模型，大家有需要可以只研究這一個(gè)包就行。

所謂混合模型就是既有固定效應(yīng)又有隨機(jī)效應(yīng)的模型：

“mixedeffects”, denotes a model that incorporates both fixed- and random-effects terms in a linear predictor expression from which the conditional mean of the response can be evaluated

第一部分 線性混合模型

直接上例子，數(shù)據(jù)是來(lái)自一篇研究睡眠剝奪的文獻(xiàn)，整個(gè)數(shù)據(jù)大概長(zhǎng)下圖這樣，其中我們的受試者在day0的時(shí)候可以睡到自然醒，在之后的日子里所有的受試者就只能睡3個(gè)小時(shí)了，我們的響應(yīng)變量是Reaction，就是對(duì)受試者做的測(cè)驗(yàn)的響應(yīng)時(shí)間，我現(xiàn)在關(guān)心睡眠剝奪后，響應(yīng)時(shí)間的變化情況：

對(duì)于這么一個(gè)縱向數(shù)據(jù)，

我們來(lái)捋一捋：我們只有18個(gè)人受試者，每個(gè)受試者隨訪10次，我們需要明白的是，此時(shí)我們的每一次測(cè)量是嵌套在人的水平上的，我們可以認(rèn)為，不同人自己的10次測(cè)量是有強(qiáng)烈的相關(guān)性的，而不同人之間的這種關(guān)系又不一定是相同的。

直觀一點(diǎn)，我們可以畫(huà)出來(lái)每一天所有人響應(yīng)時(shí)間和睡眠剝奪的變化，畫(huà)出來(lái)就是下圖：

可以看到我們上面的這個(gè)大圖是由很多個(gè)小圖組成的，每一個(gè)小圖中橫軸就是睡眠剝奪的時(shí)間，縱軸是反應(yīng)時(shí)間。每個(gè)小圖就代表著我們要研究的睡眠剝奪和反應(yīng)時(shí)間的關(guān)系（具體到人），但是我們也應(yīng)該注意到這種關(guān)系在不同的人上是不同的，體現(xiàn)在：關(guān)系的斜率不同和截距不同。（這個(gè)關(guān)系的不同可以很明顯的在圖中看出來(lái)）

所以我們就可以擬合一個(gè)帶有隨機(jī)效應(yīng)的混合模型：

fm1<-lmer(Reaction~Days+(Days|Subject),sleepstudy)

運(yùn)行代碼后得到下面的結(jié)果：

結(jié)果中有隨機(jī)效應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差和固定效應(yīng)的β估計(jì)，我得到的截距是251.4，斜率是10.5，這兩個(gè)系數(shù)就是我們研究的總體關(guān)系的表示，通常需要在文獻(xiàn)中匯報(bào)，就意味著睡眠不剝奪的時(shí)候人的反應(yīng)時(shí)間是251.4，而睡眠每剝奪多一天反應(yīng)時(shí)間增長(zhǎng)10.5。

上面這個(gè)是最簡(jiǎn)單的混合模型。我們繼續(xù)看：

lme4包高水平設(shè)置介紹

混合模型公式

對(duì)于一個(gè)常見(jiàn)的混合模型，我們可以在lme4包中寫(xiě)出來(lái)如下差不多的混合模型公式：

resp~FEexpr+(REexpr1|factor1)+(REexpr2|factor2)+...

這個(gè)公式中FEexpr就是固定效應(yīng)，(REexpr1 | factor1)and(REexpr2 | factor2)都是隨機(jī)效應(yīng)，理論上你可以弄很多個(gè)隨機(jī)效應(yīng)但是實(shí)際操作中我們不會(huì)關(guān)心那么多。

理解混合模型公式

我們看到每一個(gè)隨機(jī)效應(yīng)在公式中的表達(dá)都是(expr | factor)這樣的。豎杠前面的expr就是一個(gè)常規(guī)的回歸公式，豎杠后面的factor就是一個(gè)常規(guī)的因子，你可以把豎杠想象成回歸公式和因子的交互：

One way to think about the vertical bar operator is as a special kind of interaction betweenthe model matrix and the grouping factor。This interaction ensures that the columns of themodel matrix have different effects for each level of the grouping factor.

這種交互的意思就是在因子的不同水平，我們的回歸是不一樣的，這也正好和我們前面的解釋相對(duì)應(yīng)，就是在不同的人的水平睡眠剝奪和響應(yīng)時(shí)間的關(guān)系不一樣。

寫(xiě)到這，希望大家能記住下面這張表：

這個(gè)表就給我們展示了常見(jiàn)的隨機(jī)效應(yīng)的設(shè)置，比如(1 | g)，就是說(shuō)在因子g的不同水平，我們響應(yīng)變量的截距都不一樣。表中的第二行有個(gè)offset，表示沒(méi)有固定效應(yīng)。如果我們的數(shù)據(jù)是一個(gè)三層嵌套數(shù)據(jù)，我們可以用第三行的設(shè)定來(lái)表示隨機(jī)截距；如果你的數(shù)據(jù)沒(méi)有直接嵌套但是在g1和g2的不同水平上存在相關(guān)，那么可以用第四行的設(shè)定，這個(gè)在項(xiàng)目反應(yīng)理論中比較常見(jiàn)。

在lme4中，默認(rèn)認(rèn)為同一個(gè)模型的截距和斜率是存在相關(guān)的，如果你確定截距和斜率無(wú)關(guān)那么設(shè)定隨機(jī)效應(yīng)的時(shí)候就可以用兩個(gè)豎杠，或者把截距和斜率分開(kāi)來(lái)寫(xiě)，就是說(shuō)(x || g)和x +(1 | g) + (0 + x | g)表達(dá)的隨機(jī)效應(yīng)都是一樣的。

比如如果我認(rèn)為睡眠剝奪和反應(yīng)時(shí)間隨機(jī)效應(yīng)的截距和斜率無(wú)關(guān)，我便可以做如下設(shè)定：

fm2<-lmer(Reaction~Days+(Days||Subject),sleepstudy)#截距和斜率無(wú)關(guān)的設(shè)定

有時(shí)候我們擬合一個(gè)后又想嘗試對(duì)模型進(jìn)行改變，但又不想重寫(xiě)，此時(shí)就可以直接對(duì)相似的模型基礎(chǔ)上進(jìn)行更新：

模型的更新

比如我想在fm1的基礎(chǔ)上去掉隨機(jī)斜率只留隨機(jī)截距，我就可以用updata寫(xiě)出如下代碼：

fm3<-update(fm1,.~.-(Days|Subject)+(1|Subject))#模型的更新

到底哪一個(gè)模型更好呢？

可以用anova方法進(jìn)行模型間的比較：

anova(fm1,fm2,fm3)

運(yùn)行代碼會(huì)輸出比較的結(jié)果：

其中，從模型比較的結(jié)果可以看出，給模型增加一個(gè)截距和斜率無(wú)關(guān)的隨機(jī)效應(yīng)相比會(huì)使得模型的deviance變小，進(jìn)一步將隨機(jī)效應(yīng)設(shè)定為相關(guān)，并不能夠顯著地減小deviance，從而我們就可以知道fm2才是對(duì)數(shù)據(jù)擬合最好的模型。

第二部分 非線性混合模型

非線性混合模型就是通過(guò)一個(gè)連接函數(shù)將線性模型進(jìn)行拓展，并且同時(shí)再考慮隨機(jī)效應(yīng)的模型。

The fixed-effects parameters describe the general patterns of the data and random-effects parameters describe specific clusters. If the model is nonlinear in the parameters,it is called a nonlinear mixed-effects model (Davidian &Giltinan, 2003)

非線性混合模型常常在生物制藥領(lǐng)域的分析中會(huì)用到，因?yàn)楹芏鄤┝糠磻?yīng)并不是線性的，如果這個(gè)時(shí)候數(shù)據(jù)再有嵌套結(jié)構(gòu)，那么就需要考慮非線性混合模型了。

看下面這個(gè)圖，這個(gè)圖描繪了不同人用了茶堿過(guò)后的反應(yīng)，時(shí)間是橫軸，殘留是縱軸，和開(kāi)篇線性模型中睡眠剝奪和反應(yīng)時(shí)間的例子一樣，我們把每個(gè)人的關(guān)系都做了圖出來(lái)，不過(guò)從圖中可以明顯看出這種關(guān)系并不是簡(jiǎn)單線性的。

其實(shí)這種不是線性的關(guān)系存在的情況很多。

比如漸進(jìn)回歸：

再比如邏輯增長(zhǎng)：

此時(shí)我們要注意到像這兩非線性關(guān)系模型的參數(shù)都不是簡(jiǎn)單的一個(gè)斜率加個(gè)截距了。都有φ1，φ2，φ3三個(gè)額外參數(shù)。

這兒先給大家寫(xiě)一個(gè)邏輯增長(zhǎng)的實(shí)際例子：我現(xiàn)在有一個(gè)關(guān)于樹(shù)木周徑的數(shù)據(jù)集，每棵樹(shù)隨訪了7次，每次隨訪記錄數(shù)的年齡age，和周徑，我現(xiàn)在想研究在所有樹(shù)木中時(shí)間和周徑的關(guān)系。

很自然，我們可以想到不同的樹(shù)這個(gè)關(guān)系應(yīng)該是不一樣的，我們想探求的一定是考慮了樹(shù)水平的變異之后的總體關(guān)系，所以不妨先畫(huà)出來(lái)每個(gè)樹(shù)的關(guān)系：

從圖中可以看到我們總共有5棵樹(shù)，基本關(guān)系是一致的，但存在些許變異相關(guān)（所以考慮混合模型），而且這個(gè)關(guān)系并不是線性的（時(shí)間越大周徑基本不改變了），所以我們應(yīng)該考慮非線性的混合模型。

具體地，我們可以用nlmer方法來(lái)擬合非線性混合模型，方法參數(shù)包括3部分：首先是響應(yīng)變量，然后是非線性函數(shù)，然后是混合效應(yīng)公式：

The formula argument fornlmeris in three parts: the response, the nonlinear model function depending on covariates and a set of nonlinear model (nm) parameters, and the mixed-effects formula.

比如對(duì)我們的數(shù)據(jù)我就可以寫(xiě)出如下SSlogis方法的代碼：

print(nm1<-nlmer(circumference~SSlogis(age,Asym,xmid,scal)~Asym|Tree,Orange,start=c(Asym=200,xmid=770,scal=120)),corr=FALSE)

此時(shí)我們選擇的非線性函數(shù)是邏輯增長(zhǎng)函數(shù)SSlogis，剛剛給大家解釋了這個(gè)函數(shù)是有3個(gè)參數(shù)的，在上面的代碼中，age是我們的預(yù)測(cè)變量，Asym, xmid, scal分別是額外的三個(gè)參數(shù)（之前的邏輯增長(zhǎng)的式子和Asym/(1+exp((xmid-input)/scal))等同）：

進(jìn)一步，擬合邏輯增長(zhǎng)是要我們給出這些參數(shù)的初始值的，然后從初始值通過(guò)梯度下降尋找各個(gè)參數(shù)的最優(yōu)解：

SSlogis has an attribute called "initial", which is a function that nls can call to compute reasonable starting values for fitting a logistic function to the input data.

所以我們看到代碼中都給出了響應(yīng)參數(shù)的初始值。

運(yùn)行上面代碼后輸出如下結(jié)果：

我們可以看到結(jié)果中的固定效應(yīng)里面有Asym，Xmid，scal參數(shù)的估計(jì)結(jié)果。

那么這些參數(shù)如何解釋呢？

留個(gè)懸念我們下期再更。關(guān)注關(guān)注關(guān)注，嘿嘿。

小結(jié)

很久沒(méi)更新了，今天給大家寫(xiě)了如何用lme4做混合模型，包括線性和非線性的例子，感謝大家耐心看完，自己的文章都寫(xiě)的很細(xì)，代碼都在原文中，希望大家都可以自己做一做，請(qǐng)關(guān)注后私信回復(fù)“數(shù)據(jù)鏈接”獲取所有數(shù)據(jù)和本人收集的學(xué)習(xí)資料。如果對(duì)您有用請(qǐng)先收藏，再點(diǎn)贊轉(zhuǎn)發(fā)。

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