祖沖之圓周率怎么算出來的?

祖沖之是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，他在數(shù)學(xué)上最重要的成就是把圓周率的小數(shù)位史無前例地計(jì)算到第七位，這個(gè)精度在隨后的800年里一直是世界第一。那時(shí)是公元480年，一切都要依靠手工計(jì)算的時(shí)代(甚至算盤可能還沒有出現(xiàn))，算個(gè)開方都費(fèi)勁，那么，祖沖之是如何算出精度這么高的圓周率呢?

圓周率并不是通過先作圓，然后量周長(zhǎng)和直徑，最后算出來的。因?yàn)檫@樣做的誤差很大，測(cè)量誤差不可避免。事實(shí)上，古代數(shù)學(xué)家在很長(zhǎng)一段時(shí)間里都是用幾何方法來計(jì)算圓周率。

祖沖之算圓周率所使用的方法是劉徽發(fā)明的割圓術(shù)，這與阿基米德所用的方法有些不同。阿基米德通過做圓的外切和內(nèi)接正多邊形，來計(jì)算圓周率的上下限，因?yàn)檫厰?shù)越多的正多邊形越接近于圓。

劉徽的割圓術(shù)基于圓的內(nèi)接正多邊形，他用正多邊形的面積來逼近圓的面積。分割越多，內(nèi)接正多邊形和圓之間的面積越來越小，兩者越來接近。無限分割之后，內(nèi)接正多邊形和圓將會(huì)合二為一。

在劉徽的方法中，引入了極限和無窮小分割的思想。劉徽的方法更為巧妙，也更為簡(jiǎn)潔。劉徽算到了正3072邊形，結(jié)果得到的圓周率為3.1416。

祖沖之在劉徽割圓術(shù)的基礎(chǔ)上，算到了正24576邊形，并根據(jù)劉徽?qǐng)A周率不等式，確定了圓周率的下限(肭數(shù))為3.1415926，上限(盈數(shù))為3.1415927。并且，祖沖之還順便給出了圓周率的一個(gè)近似分?jǐn)?shù)355/113，其前六位都是正確的。

在沒有計(jì)算機(jī)和算盤的幫助下，祖沖之用算籌來計(jì)算乘方和開方，硬生生地把圓周率的小數(shù)位算到了第七位，這需要極其巨大的毅力和艱苦卓絕的付出。在祖沖之的努力下，此后800年里，沒有人能夠算出比這精度更高的圓周率。

祖沖之用什么算出圓周率的?

根據(jù)《隋書·律歷志》關(guān)于圓周率(π)的記載：“宋末，南徐州從事史祖沖之，更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。”祖沖之把一丈化為一億忽，以此為直徑求圓周率。他計(jì)算的結(jié)果共得到兩個(gè)數(shù)：一個(gè)是盈數(shù)(即過剩的近似值)，為3.1415927;一個(gè)是朒數(shù)(即不足的近似值)，為3.1415926。

盈朒兩數(shù)可以列成不等式，如:3.1415926(*)<π(真實(shí)的圓周率)<3.1415927(盈)，這表明圓周率應(yīng)在盈朒 兩數(shù)之間。按照當(dāng)時(shí)計(jì)算都用分?jǐn)?shù)的習(xí)慣，祖沖之還采用了兩個(gè)分?jǐn)?shù)值的圓周率。一個(gè)是355/113(約等于3.1415927)，這一個(gè)數(shù)比較精密，所以祖沖之稱它為“密率”。另一個(gè)是22/7(約等于3.14)，這一個(gè)數(shù)比較粗疏，所以祖沖之稱它為“約率”。

祖沖之在圓周率方面的研究，有著積極的現(xiàn)實(shí)意義，他的研究適應(yīng)了當(dāng)時(shí)生產(chǎn)實(shí)踐的需要。他親自研究度量衡，并用最新的圓周率成果修正古代的量器容積的計(jì)算。古代有一種量器叫做“ 釜 ”，一般的是一尺深，外形呈圓柱狀，祖沖之利用他的圓周率研究，求出了精確的數(shù)值。他還重新計(jì)算了漢朝劉歆所造的“律嘉量”， 利用“祖率”校正了數(shù)值。以后，人們制造量器時(shí)就采用了祖沖之的“祖率”數(shù)值。